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En mathématiques, une closed-form expression, est une expression mathématique utilisant un nombre fini d’opérations standards (+ − × ÷, variables, constantes..), par exemple 4 = x + 2.

Contrairement à l’équation précédente dont la solution est x = 2 (un entier numérique), une équation différentielle est une équation dont la ou les inconnues sont des fonctions;
Certaines (un prochain article expliquera pourquoi) équations différentielles n’ont tout simplement pas de solutions finies sous forme « closed-form expression ».

Ainsi, Le problème à N corps est un problème de mécanique céleste consistant à déterminer les trajectoires d’un ensemble de N corps s’attirant mutuellement : il s’agit de résoudre les équations du mouvement de Newton pour N corps interagissant gravitationnellement, connaissant leurs masses ainsi que leurs positions et vitesses initiales : c’est la seconde loi de Newton.

Le cas N = 2 (problème à deux corps) a été résolu par Newton, mais dès N = 3 (problème à trois corps) apparaissent des solutions essentiellement impossibles à expliciter, car on se retrouve dans un système chaotique (sensibles aux conditions initiales).

En effet, dans un système à 2 corps, il y a un barycentre statique. Cela simplifie énormément la situation, car le vecteur de force sur les deux corps pointe toujours vers le barycentre. Si le barycentre ne bouge pas, alors les deux corps sont en orbite autour d’un point fixe (même si ce point n’est pas à l’intérieur de l’un ou l’autre des corps).

Dans un système à trois corps, cependant, le barycentre se déplace à mesure que le système évolue; par conséquent, le vecteur de force agissant sur chaque corps (et donc le vecteur d’accélération de chaque corps) se déplace constamment. Cela rend un système à trois corps chaotique. (Un système chaotique est toujours déterministe – c’est-à-dire que l’état futur de chaque corps est toujours déterminé par les positions et les vitesses des corps à l’heure actuelle – mais il ne peut pas être décrit ou prédit par une équation finie).

En utilisant un ensemble d’approximations (et de superordinateurs), nous pouvons prédire les positions des corps dans un système à N corps (comme notre système solaire ou une galaxie qui sont des problèmes à N corps) avec une assez bonne précision. Même ceci est différent que de résoudre le problème à N corps !

Indépendamment de notre capacité à prédire où la planète Naboo se trouvera le 06 Novembre 2074, nous n’avons pas décrit (et ne pouvons pas décrire) la position de Naboo avec une simple équation finie. C’est cela le problème des N-corps.

La philosophie de la perception tente de comprendre la nature des expériences perceptives et la façon dont elles se rapportent aux croyances ou à la connaissance du monde.
Cette philosophie cherche notamment à répondre aux questions :

• Quelle est la nature des contenus de la perception ?
• Quel rapport entre la perception et la connaissance ?

« Les gens vivent en s’appuyant sur leurs convictions et leurs connaissances et ils appellent ça la réalité. Mais le savoir et la compréhension sont des concepts si ambigus que cette réalité ne pourrait être alors qu’une illusion. »

Cette citation est à rapprocher de l’argument de l’illusion en philosophie de la perception, ce dernier défend la thèse selon laquelle nous ne percevons jamais que des données des sens (dites sense-data, accessibles via nos 5 sens) du monde, et non le monde en lui même.

Un exemple classique d’illusion naturelle est le bâton de Descartes : j’ai un bâton qui me paraît droit mais quand je le tiens sous l’eau, il semble se plier et se déformer. Je sais que le bâton est droit et que sa flexibilité apparente est un effet lié à la perception que j’ai de lui à travers l’eau, mais, malgré tout, je ne peux pas changer l’image mentale que j’ai du bâton en tant qu’il est courbé.

Étant donné le fait que le bâton n’est pas courbé, son apparence peut être décrite comme une illusion, mais cette illusion ne se distingue pas fondamentalement de la perception normale de l’objet. Dans les deux cas, plutôt que de percevoir directement le bâton, nous percevons une image de bâton constituée d’un ensemble de « données des sens ». Cette représentation mentale ne nous dit rien au sujet des véritables propriétés du bâton, qui restent inaccessibles à nos sens.

Nos sens ne nous mettraient donc pas en relation avec le monde tel qu’il existe en soi, mais seulement avec des représentations ou contenus mentaux : si je peux être victime d’une illusion (ou d’une hallucination) sans le savoir, c’est que rien ne me permet de distinguer entre une expérience véridique et une illusion lorsque j’y suis confronté. Par conséquent, la nature de l’expérience véridique ne peut être radicalement différente de celle de l’illusion. Dans les deux cas, je prends immédiatement conscience d’un ensemble de sense-data, c’est-à-dire de petites sensations dont la réalité tient tout entière dans leur apparence.

Fidèle à la maïeutique de Socrate, les Problèmes est un ouvrage d’Aristote constitué de près de 900 problèmes écrits sous forme de questions et réponses.

Pour quelle raison tous ceux qui ont été des hommes d’exception, en ce qui regarde la philosophie, la science de l’État, la poésie ou les arts, sont-ils manifestement mélancoliques ?

C’est avec ces lignes qu’Aristote pose le fameux problème 30, en faisant – plusieurs siècles auparavant – le lien entre les personnes s’illustrant dans différents domaines et la tristesse et la mélancolie.

Pour répondre à cette question, Aristote remonte à la source de cette mélancolie, et pour se faire, il prend l’exemple du vin et de ses effets sur les êtres humains : à jeun, ils sont de sang-froid et taciturnes, mais que, s’ils boivent un peu trop, ils deviennent bien vite excessivement loquaces. S’ils s’enivrent encore davantage, ils se mettent à déclamer, et ils prennent un singulier aplomb. Un peu plus encore, ils deviennent d’une activité étonnante. S’ils poussent encore plus loin, ils ne regardent plus à insulter les gens, et ils finissent par la folie. C’est le vin pris en trop grande quantité qui leur ôte la raison qui est le stade ultime.

Ainsi, la réflexion comme le vin, possède différents niveaux, et peut faire apparaitre chez l’humain des caractères insoupçonnés.

Enfin, de la même manière qu’une personne tolérera le vin différemment d’une autre, la réflexion (et son excès) auront aussi des effets différents.
Poussée à l’extrême, la réflexion est difficile, exigeante et parfois triste, mais c’est aussi la seule chose à faire et ce qui a fait avancer l’humanité !