Le raisonnement inductif

Le raisonnement déductif (présenté ici) part d’une idée générale pour en déduire des propositions particulières.

Il est tout à fait possible de faire l’inverse, c’est-à-dire partir d’observations particulières et tenter de les généraliser pour aboutir à une conclusion, c’est le principe du raisonnement inductif.

  • Après avoir observé que l’eau, l’huile et le lait se congèlent sous l’influence du froid
  • Nous en inférons que tous les liquides doivent se congeler, pourvu que le froid soit assez intense

Nous procédons par induction, nous regardons le cas particulier de 3 liquides, et nous tentons de généraliser ça à tous les liquides.

L’inverse, c’est à dire :

  • Tous les liquides sont susceptibles de se congeler
  • Si le mercure est un liquide
  • Donc il peut se congeler

Nous procédons cette fois dans le sens inverse, à savoir par déduction.

Il faut bien remarquer qu’avant de déduire certaines vérités particulières d’une formule générale, il faut déjà s’être élevé et avoir trouvé cette formule : or, dans la plupart des cas, nous ne pouvons y parvenir qu’au moyen de l’induction !

Autrement dit, c’est par l’induction qu’on acquiert la connaissance : on fait des tests sur des cas particuliers, et on tente de les généraliser pour obtenir une règle, une loi générale.

La méthode déductive quant à elle, est la méthode par laquelle on enseigne et on transmet la loi générale trouvée.

Attention, l’étape de la généralisation est la plus délicate, on peut très bien généraliser et se tromper !

Un exemple classique de mauvaise généralisation :

  • Tous les cygnes que j’ai vus sont blancs
  • Ce cygne est également blanc
  • Tous les signes sont blancs
Il existe bien un cygne noir, nommé Cygnus atratus !

Le raisonnement déductif

En logique mathématique, la déduction relie des propositions dites prémisses à une proposition dite conclusion.

Autrement dit, la déduction est une opération par laquelle on établit au moyen de prémisses une conclusion qui en est la conséquence.

Un syllogisme est un raisonnement logique mettant en relations au moins trois propositions : deux ou plus d’entre elles, appelées « prémisses », conduisent à une « conclusion ». Ce mot a été inventé par Aristote.

Exemple de syllogisme :

Prémisses :

  • Tous les hommes sont mortels.
  • Or tous les Athéniens sont des hommes.

Déduction :

  • Donc tous les Athéniens sont mortels.

Ou alors (en excluant les manchots et autres !) :

  • Les oiseaux peuvent voler
  • Tna est un oiseau
  • Tna peut donc voler

Il y’a plusieurs siècles, Aristote (384 av. J.-C) a été le premier à écrire et a formalisé les règles de la logique, dans ses ouvrages L’Organon

Les différentes formes de raisonnement

D’après Wikipedia, la cognition est l’ensemble des processus mentaux qui se rapportent à la fonction de connaissance et mettent en jeu la mémoire, le langage, le raisonnement, l’apprentissage, l’intelligence, la résolution de problème, la prise de décision, la perception ou l’attention.

Le raisonnement est donc un processus cognitif permettant de poser un problème de manière réfléchie en vue d’obtenir un ou plusieurs résultats. L’objectif d’un raisonnement est de mieux cerner (comprendre) un fait ou d’en vérifier la réalité, en faisant appel alternativement à différentes « lois » et à des expériences, ceci quel que soit le domaine d’application : mathématiques, musique, lettres, sport…

Le Penseur est l’une des plus célèbres sculptures en bronze d’Auguste Rodin. Elle représente un homme en train de méditer, semblant devoir faire face à un profond dilemme.
Image prise au musée de Paris.

La logique vise à formaliser les raisonnements par des règles.
En logique on s’accorde à considérer trois «moyens» de construction de raisonnements :

  • La déduction ou raisonnement par déduction
  • L’induction ou raisonnement par induction
  • L’abduction ou raisonnement par abduction

Ces 3 moyens de raisonnement feront l’objet d’articles prochainement!

Enfin, le Trésor de la langue française informatisé définit l’intuition comme le fait de pressentir ou comprendre quelque chose sans analyse ni raisonnement, j’ai bien l’intuition qu’un article consacré à cette dernière va suivre !

Le Serpent Monétaire Européen

Bien avant Le Système monétaire européen et bien avant l’euro, il existait en Europe un dispositif économique actif de 1972 à 1978 qui limitait les fluctuations de taux de change entre les monnaies des pays membres de la Communauté économique européenne.

Ce dispositif, c’est le Serpent monétaire européen (SME).

Pour chaque monnaie, un seuil d’intervention (pour les banques centrales) à la vente et un seuil d’intervention à l’achat, en fonction du taux de change par rapport à chacune des autres monnaies, étaient définis.

Ainsi, une monnaie ne pouvait pas fluctuer par rapport à une autre de plus ou moins 2,25 % autour de sa parité bilatérale.

L’histoire débute de fait en 1944 avec les accords de Bretton Woods où plusieurs dizaines d’États, la guerre finie, décident que la nouvelle économie mondiale se fera grâce à l’aide des États-Unis et les échanges seront donc basés sur le dollar américain.

Cette spécificité de la monnaie américaine va dès lors lui conférer une valeur supranationale et donner un privilège exceptionnel aux États-Unis en leur permettant de payer toutes leurs importations dans la monnaie nationale, alors que les autres pays doivent s’efforcer de gagner suffisamment de devises pour régler leurs importations.

Pour obtenir les précieux dollars, les pays n’ont d’autre choix que d’exporter.

En 1971, les États-Unis renoncent à la convertibilité du dollar en or à 35 dollars l’once.Dès lors, le cours du dollar va évoluer librement par rapport aux autres devises.

De 1972 à 1978 le dollar américain connait une forte chute , et les devises (qui sont liées au dollars par leurs importations/exportations) craquent les unes après les autres.

Au printemps 1976, les troubles monétaires secouent de nombreux pays européens.
Le serpent monétaire européen, embourbé dans ses difficultés, est paralysé.

Plusieurs pays quittent le dispositif du Serpent Monétaire Européen, la nécessité d’un nouveau système s’impose.

C’est bien ce qui a donné naissance au Système monétaire européen, où les devises prennent un panier de référence nommé l’ECU (European Currency Unit), qui est constitué des devises adhérentes au nouveau système.

La fluctuation des devises les unes par rapport aux autres s’étant révélée irréalistes, la nouvelle fluctuation de 1,125 % (au lieu de 2,25 %) se fait cette fois par rapport à l’ECU.

L’Effet Tetris

Le jeu vidéo Tetris est un des jeux les plus populaires de toute l’histoire du jeu vidéo.

Il a été conçu par Alekseï Pajitnov en 1984.

Je crois bien que j’ai attrapé l’effet Tetris à force de jouer aux échecs ^^’

Quelle fut ma surprise, en découvrant qu’il existe un «effet Tetris» !

L’effet Tetris, ou syndrome Tetris survient lorsqu’un individu consacre tellement de temps et d’attention à une activité que cette dernière commence à modifier sa pensée, ses images mentales, et ses rêves.

Vous l’auriez deviné, le nom du syndrome s’inspire du jeu vidéo Tetris.

Les individus jouant à Tetris pendant trop longtemps peuvent se mettre à penser à la manière dont les différentes formes du monde réel peuvent s’emboîter ensemble, comme des boîtes sur une étagère de supermarché ou des immeubles dans la rue…

Enfin, il est important de souligner que l’effet Tetris n’est pas propre aux jeux vidéos.

Autrement dit, tout excès est un défaut !

Du mercure à l’or : à quel prix ?

Pendant très longtemps, la pierre philosophale a fait rêver les alchimistes du monde entier, cette pierre qui permettait selon eux , de transformer les métaux peu chers en or.

Qu’en est-il à notre époque ?

Dans le tableau périodique des éléments en chimie, l’or et le mercure sont côte à côte. Le mercure ne possède en effet qu’un proton et un neutron de plus que l’or.

L’or correspond au symbole Au, le mercure correspond au symbole Hg

Avec la technologie actuelle, il est possible de les lui ôter (en bombardant les atomes de mercure) et donc de transformer le mercure en or !

Cependant, cela coûte bien trop cher pour être rentable.

Les alchimistes d’antan avaient tord sur un point, il n’existe aucun procédé chimique permettant de transformer un métal en or, en revanche un procédé nucléaire existe bel et bien ! mais comme nous l’avions vu, le coût de l’opération est bien trop cher pour être rentable.

Enfin, dans les centrales nucléaires ou dans les accélérateurs de particules, de l’or est créé en quantité infime à partir du mercure, mais cette création résulte d’un dommage collatéral du fonctionnement de ces centrales et des accélérateurs de particules !

Le Paradoxe de Saint-Pétersbourg

Ce paradoxe a été énoncé en 1713 par Nicolas Bernoulli. La première publication est due à son neveu, Daniel Bernoulli.

Considérons le jeu suivant entre un joueur et une banque : on lance en l’air une pièce de monnaie. Si face apparaît, la banque paie 2 euros au joueur, et on arrête le jeu. Sinon, on relance la pièce. Si face apparaît, la banque paie 4 euros, et on arrête le jeu. Sinon, on relance la pièce. Si face apparaît, la banque paie 8 euros au joueur, et ainsi de suite. Donc, si face apparaît pour la première fois au n-ième lancer, la banque paie 2^n euros au joueur.

Si face apparaît au bout du n-ième lancé, alors :
Paiement banque = 2^n euros

La question qu’on se pose est : Quelle est la mise initiale pour que le jeu soit équitable, c’est-à-dire pour que ni la banque ni le joueur ne soient avantagés par ce jeu?

Pour que le jeu soit équitable, il suffit que l’espérance du gain moyen du joueur soit égale à l’espérance du gain moyen de la banque. (C’est le même principe suivi par les compagnies d’assurances pour fixer leurs prix d’ailleurs)

Pour que face apparaisse dès le premier lancé, il y’a une chance sur deux, donc une probabilité de 1/2, pour que face apparaisse dès le deuxième lancé, la probabilité est cette fois de 1/2 * 1/2 = 1/4.

Plus généralement, la probabilité que face apparaisse au n-ième lancé, est de 1/(2^n).

L’espérance de gain sera donc de la sorte : 2 * (1/2) + 4 *(1/4) + 8 * (1/8) + … + 2^n * (1/(2^n))

Avec le gain à gauche, pondéré par sa probabilité à droite.

Cela revient donc à faire une somme infinie de 1

Espérance de gain = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + … + 1

Autrement dit, l’éspérance de gain = infinie.

Il faudrait donc miser une infinité d’euros pour que le jeu soit équitable ! Ce qui est bien sûr impossible.

Le paradoxe réside dans le fait qu’il serait rationnel, si le gain seul importait, d’offrir de miser la totalité de ses biens pour pouvoir jouer à ce jeu dont on vient de voir qu’il offrait une espérance de gain infinie (donc bien supérieur à n’importe quelle mise), et que pourtant personne, observe Daniel Bernouilli, ne ferait une chose pareille.

Lê de la chaine Science4All a fait une excellente vidéo à ce sujet !

Émile Borel dit : « Il y a, à mon avis, un très grand intérêt scientifique et social à ce que les principes fondamentaux du calcul des probabilités soient admis sans restriction par le plus de personnes possible ».

Le paradoxe illustre pour lui que, faute de cette capacité les gens ne sont pas en mesure de mesurer le gain, feront une mise inadéquate (trop basse dans ce jeu, ou peut-être trop haute dans un autre jeu) ou encore préféreront refuser un jeu qui leur semble trop complexe.

Problème de Monty Hall

Le problème de Monty Hall est un casse-tête probabiliste librement inspiré du jeu télévisé américain Let’s Make a Deal.

Il porte le nom de celui qui a présenté ce jeu aux États-Unis pendant treize ans, Monty Hall.

Le jeu oppose un présentateur à un candidat (le joueur). Ce joueur est placé devant trois portes fermées. Derrière l’une d’elles se trouve une voiture et derrière chacune des deux autres se trouve une chèvre. Il doit tout d’abord désigner une porte. Puis le présentateur doit ouvrir une porte qui n’est ni celle choisie par le candidat, ni celle cachant la voiture (le présentateur sait quelle est la bonne porte dès le début). Le candidat a alors le droit d’ouvrir la porte qu’il a choisie initialement, ou d’ouvrir la troisième porte.

Illustration du problème de Mounty Hall

Les questions qui se posent au candidat sont :

  • Que doit-il faire ?
  • Quelles sont ses chances de gagner la voiture ?

Les stratégies :

Initialement, le joueur peut choisir entre deux stratégies :

  • Changer de porte 
  • Ne pas changer de porte

Au début, on pourrait penser qu’en changeant de porte, on se ramène au jeu initiale mais avec uniquement 2 choix (donc 2 portes) ce qui fait une probabilité de 1/2 de gagner, peu importe le choix.

Cette réflexion est consultable ici.

Néanmoins, on peut démontrer mathématiquement, et de plusieurs manières, que le joueur en changeant de porte, augmente et voit ses chances de gagner passer de 1/3 à 2/3

Aussi contre-intuitif que cela puisse paraître, c’est bien vrai, et on peut s’en convaincre de façon informatique, en simulant des milliers de parties jouées !

Ce bout de code Python, illustre le propos précédent, en changeant de porte le joueur gagne deux fois plus souvent qu’en gardant son choix initial.

Le code source peut être consulté dans son intégralité sur mon compte GitHub

La démonstration mathématique est rigoureusement bien faite sur Wikipédia

Les bœufs d’Hélios

Attribué à Archimède (Celui à qui l’on doit le fameux Eurêka), le problème demande de déterminer la taille du troupeau des bœufs d’Hélios le Dieu du Soleil, sachant que celui-ci satisfait à certaines conditions. Il fut découvert par Gotthold Ephraim Lessing sous forme d’un poème dans un manuscrit grec, en 1773.

Le problème resta non résolu durant plus d’un siècle, en partie en raison de la difficulté du calcul des très grands nombres intervenant dans sa solution. Celle-ci fut déterminée en 1880 par A. Amthor

Enfin, le problème se pose en deux parties, voyons donc ces deux parties !

La première, consiste à trouver une solution (si elle existe) qui satisfait les contraintes suivantes :

  • Le troupeau d’Hélios, se compose de taureaux et vaches de 7 couleurs différentes, qui doivent chacun satisfaire une condition.
  • Les conditions sont liées entre elles.
  • Par exemple, le nombre de vaches roses doit être égal à : un cinquième + un sixième du nombre de vaches jaunes + le nombre de taureaux jaunes.
  • Les contraintes sont résumées dans l’image ci-dessous :

En majuscule : Un bœuf, en minuscule : une vache

La solution de cette première partie peut se faire de 2 manières différentes :

  • À la main, ce qui prendra une petite heure, mais ça reste un bon exercice !
  • En quelques secondes de façon Informatique ! (Avec Mapple pour ma part)

Voici la démarche et la solution du problème sur Mapple :

Le bétail est plutôt grand ! mais cela est sans prendre en compte la deuxième partie du problème.

Elle peut être vue à partir de la minute 1:45

Remerciements à la chaîne YouTube El Jj, qui m’a fait découvrir ce problème et tant d’autres !