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En mathématiques, le problème des pièces de monnaie est un problème qui consiste à déterminer le montant le plus élevé que l’on ne peut pas représenter en n’utilisant que des pièces de monnaie de valeurs faciales fixées.

Il existe une formule explicite pour le nombre de Frobenius dans le cas où il n’y a que deux valeurs de pièces.
Si le nombre de valeurs est plus grand que 2, on ne connaît pas de formule explicite et le problème devient NP-difficile.

Pour 2 pièces ayant pour valeurs a et b (premiers entre eux), la formule est la suivante :

(a – 1)(b – 1) – 1

Et le nombre de valeurs qu’on ne peut pas exprimer avec ces 2 pièces est :

(a – 1)(b – 1) // 2

Par exemple, avec des pièces de 2 et de 5 centimes, on ne peut pas exprimer le montant 3 centimes. ( car (2-1)(5-1)-1 = 3).

Et on ne peut pas exprimer seulement 2 valeurs (qui sont 1 et 3 centimes) avec des pièces de 2 et de 5 centimes.

En mathématiques, une relation transitive est une relation binaire pour laquelle une suite d’objets reliés consécutivement aboutit à une relation entre le premier et le dernier.

La relation > est transitive, en effet si a > b et b >c => a > c
En revanche, la relation ≠ n’est pas transitive, en effet si a ≠ b et b ≠ c, rien ne permet d’affirmer ni que a ≠ c, ni que a = c.

Le paradoxe de Condorcet dit qu’il est possible – lors d’un vote où l’on demande aux votants de classer trois propositions (A, B et C) par ordre de préférence – qu’une majorité de votants préfère A à B, qu’une autre préfère B à C et qu’une autre préfère C à A (Le vote, à travers la relation de préférence, est non transitif).

Les décisions prises à une majorité populaire par ce mode de scrutin ne sont donc pas, dans ce cas, cohérentes avec celles que prendrait un individu supposé rationnel, car pour ce dernier, la relation de préférence est transitive.

La non-transitivité de la relation de préférence entraîne le paradoxe de Condorcet, mais ne devrait pas être considérée en elle-même comme paradoxale. Elle n’est en effet pas plus paradoxale que le jeu pierre-feuille-ciseaux où

1. La feuille l’emporte sur la pierre (F>P)
2. La pierre l’emporte sur les ciseaux (P>C)
3. Les ciseaux l’emportent sur la feuille (C>F) (Si c’était transitif, on aura F>C)

Quand l’information traitée est plus complète et renseigne sur l’intensité des préférences (et plus simplement les préférences), des procédures permettent de classer rationnellement des candidats sans paradoxe. De telles procédures sont par exemple utilisées pour évaluer des réponses à appel d’offres.

Joseph Schumpeter, est un économiste et professeur en science politique, connu pour ses théories sur la destruction créatrice et l’innovation.

La «destruction créatrice» désigne le processus continuellement à l’œuvre dans les économies et qui voit se produire de façon simultanée la disparition de secteurs d’activité économique conjointement à la création de nouvelles activités économiques, ce processus fait suite à des innovations.

Pour Schumpeter; il y’a 5 types d’innovations :

1. La fabrication de biens nouveaux
2. Les nouvelles méthodes de production
3. L’ouverture de nouveaux débouchés
4. L’utilisation de nouvelles matières premières
5. Une nouvelle organisation du travail

La destruction créatrice peut gravement affecter même des entreprises qui, à une époque, ont révolutionné et dominé leur marché tel que Xerox pour les photocopieurs ou Polaroid pour les appareils photo instantanés.

Dans le même temps, la destruction créatrice confère aux entreprises porteuses de ces innovations un leadership voire un pouvoir de monopole temporaire sur un marché, par exemple Walmart, la chaîne d’hypermarchés aux États-Unis, domine progressivement le commerce de détail en utilisant de nouvelles techniques de gestion des stocks, de marketing et de gestion des ressources humaines.

Bien sûr, toutes les innovations ne remplacent pas et ne détruisent pas (ou pas totalement) et de manière systématique les activités dans lesquelles elles se produisent, l’invention du piano numérique par Yamaha n’a pas fait disparaître les entreprises fabriquant des pianos à queue, de même la commercialisation de la moto n’a pas fait disparaitre le marché des voitures.