Auteur/autrice : LMeg

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Problème de Monty Hall

Le problème de Monty Hall est un casse-tête probabiliste librement inspiré du jeu télévisé américain Let’s Make a Deal.

Il porte le nom de celui qui a présenté ce jeu aux États-Unis pendant treize ans, Monty Hall.

Le jeu oppose un présentateur à un candidat (le joueur). Ce joueur est placé devant trois portes fermées. Derrière l’une d’elles se trouve une voiture et derrière chacune des deux autres se trouve une chèvre. Il doit tout d’abord désigner une porte. Puis le présentateur doit ouvrir une porte qui n’est ni celle choisie par le candidat, ni celle cachant la voiture (le présentateur sait quelle est la bonne porte dès le début). Le candidat a alors le droit d’ouvrir la porte qu’il a choisie initialement, ou d’ouvrir la troisième porte.

Illustration du problème de Mounty Hall

Les questions qui se posent au candidat sont :

  • Que doit-il faire ?
  • Quelles sont ses chances de gagner la voiture ?

Les stratégies :

Initialement, le joueur peut choisir entre deux stratégies :

  • Changer de porte 
  • Ne pas changer de porte

Au début, on pourrait penser qu’en changeant de porte, on se ramène au jeu initiale mais avec uniquement 2 choix (donc 2 portes) ce qui fait une probabilité de 1/2 de gagner, peu importe le choix.

Cette réflexion est consultable ici.

Néanmoins, on peut démontrer mathématiquement, et de plusieurs manières, que le joueur en changeant de porte, augmente et voit ses chances de gagner passer de 1/3 à 2/3

Aussi contre-intuitif que cela puisse paraître, c’est bien vrai, et on peut s’en convaincre de façon informatique, en simulant des milliers de parties jouées !

Ce bout de code Python, illustre le propos précédent, en changeant de porte le joueur gagne deux fois plus souvent qu’en gardant son choix initial.

Le code source peut être consulté dans son intégralité sur mon compte GitHub

La démonstration mathématique est rigoureusement bien faite sur Wikipédia

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Les bœufs d’Hélios

Attribué à Archimède (Celui à qui l’on doit le fameux Eurêka), le problème demande de déterminer la taille du troupeau des bœufs d’Hélios le Dieu du Soleil, sachant que celui-ci satisfait à certaines conditions. Il fut découvert par Gotthold Ephraim Lessing sous forme d’un poème dans un manuscrit grec, en 1773.

Le problème resta non résolu durant plus d’un siècle, en partie en raison de la difficulté du calcul des très grands nombres intervenant dans sa solution. Celle-ci fut déterminée en 1880 par A. Amthor

Enfin, le problème se pose en deux parties, voyons donc ces deux parties !

La première, consiste à trouver une solution (si elle existe) qui satisfait les contraintes suivantes :

  • Le troupeau d’Hélios, se compose de taureaux et vaches de 7 couleurs différentes, qui doivent chacun satisfaire une condition.
  • Les conditions sont liées entre elles.
  • Par exemple, le nombre de vaches roses doit être égal à : un cinquième + un sixième du nombre de vaches jaunes + le nombre de taureaux jaunes.
  • Les contraintes sont résumées dans l’image ci-dessous :

En majuscule : Un bœuf, en minuscule : une vache

La solution de cette première partie peut se faire de 2 manières différentes :

  • À la main, ce qui prendra une petite heure, mais ça reste un bon exercice !
  • En quelques secondes de façon Informatique ! (Avec Mapple pour ma part)

Voici la démarche et la solution du problème sur Mapple :

Le bétail est plutôt grand ! mais cela est sans prendre en compte la deuxième partie du problème.

Elle peut être vue à partir de la minute 1:45

Remerciements à la chaîne YouTube El Jj, qui m’a fait découvrir ce problème et tant d’autres !