Le paradoxe de Russell, est un paradoxe de la théorie des ensembles, il répond à la question suivante :
Existe t-il un ensemble qui contient tout les ensembles ?
Ou formulé autrement, l’ensemble E des ensembles n’appartenant pas à eux-mêmes appartient-il à lui-même ?
- Si la réponse est oui, E appartient à lui même : comme notre ensemble E contient des ensembles n’appartenant pas à eux-mêmes, on tombe sur une contradiction
- Si la réponse est non , E n’appartient pas à lui même : comme notre ensemble E contient des ensembles n’appartenant pas à eux-mêmes, il devrait appartenir à lui même, on tombe à nouveau sur une contradiction.
Il y’a donc une contradiction dans les deux cas, ce qui rend paradoxale (et donc impossible) l’existence d’un tel ensemble.
Le paradoxe du barbier est une illustration du paradoxe de Russell, qu’on peut formuler comme suit :
Le barbier du village doit de raser tous les habitants qui ne se rasent pas eux-mêmes et seulement ceux-ci.
- Si le barbier se rase lui même : alors il ne devrait pas se raser lui même (Car en tant que barbier, il doit raser seulement se rasent pas eux-mêmes)
- Si le barbier ne se rase pas lui même : alors il remplit la condition de son travail, il doit se raser lui même
On retrouve une contradiction dans les 2 cas.