Ce paradoxe a été énoncé en 1713 par Nicolas Bernoulli. La première publication est due à son neveu, Daniel Bernoulli.
Considérons le jeu suivant entre un joueur et une banque : on lance en l’air une pièce de monnaie. Si face apparaît, la banque paie 2 euros au joueur, et on arrête le jeu. Sinon, on relance la pièce. Si face apparaît, la banque paie 4 euros, et on arrête le jeu. Sinon, on relance la pièce. Si face apparaît, la banque paie 8 euros au joueur, et ainsi de suite. Donc, si face apparaît pour la première fois au n-ième lancer, la banque paie 2^n euros au joueur.
Si face apparaît au bout du n-ième lancé, alors :
Paiement banque = 2^n euros
La question qu’on se pose est : Quelle est la mise initiale pour que le jeu soit équitable, c’est-à-dire pour que ni la banque ni le joueur ne soient avantagés par ce jeu?
Pour que le jeu soit équitable, il suffit que l’espérance du gain moyen du joueur soit égale à l’espérance du gain moyen de la banque. (C’est le même principe suivi par les compagnies d’assurances pour fixer leurs prix d’ailleurs)
Pour que face apparaisse dès le premier lancé, il y’a une chance sur deux, donc une probabilité de 1/2, pour que face apparaisse dès le deuxième lancé, la probabilité est cette fois de 1/2 * 1/2 = 1/4.
Plus généralement, la probabilité que face apparaisse au n-ième lancé, est de 1/(2^n).
L’espérance de gain sera donc de la sorte : 2 * (1/2) + 4 *(1/4) + 8 * (1/8) + … + 2^n * (1/(2^n))
Avec le gain à gauche, pondéré par sa probabilité à droite.
Cela revient donc à faire une somme infinie de 1
Espérance de gain = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + … + 1
Autrement dit, l’éspérance de gain = infinie.
Il faudrait donc miser une infinité d’euros pour que le jeu soit équitable ! Ce qui est bien sûr impossible.
Le paradoxe réside dans le fait qu’il serait rationnel, si le gain seul importait, d’offrir de miser la totalité de ses biens pour pouvoir jouer à ce jeu dont on vient de voir qu’il offrait une espérance de gain infinie (donc bien supérieur à n’importe quelle mise), et que pourtant personne, observe Daniel Bernouilli, ne ferait une chose pareille.
Émile Borel dit : « Il y a, à mon avis, un très grand intérêt scientifique et social à ce que les principes fondamentaux du calcul des probabilités soient admis sans restriction par le plus de personnes possible ».
Le paradoxe illustre pour lui que, faute de cette capacité les gens ne sont pas en mesure de mesurer le gain, feront une mise inadéquate (trop basse dans ce jeu, ou peut-être trop haute dans un autre jeu) ou encore préféreront refuser un jeu qui leur semble trop complexe.