Le modèle Black-Scholes ou modèle Black-Scholes-Merton qui est un modèle mathématique du marché pour une action, dans lequel le prix de l’action est un processus stochastique en temps continu ; par opposition au modèle Cox Ross-Rubinstein (présenté ici) qui suit un processus stochastique en temps discret.
Ce modèle repose sur les hypothèses suivantes :
Il n’y a pas d’opportunités d’arbitrage ;
Le temps est une fonction continue ;
Il est possible d’effectuer des ventes à découvert ;
Il n’y a pas de coûts de transactions ;
Il existe un taux d’intérêt sans risque, connu à l’avance et constant ;
Tous les sous-jacents sont parfaitement divisibles (on peut par exemple acheter 1/100e d’action) ;
Dans le cas d’une action, celle-ci ne paie pas de dividendes* entre le moment de l’évaluation de l’option et l’échéance de celle-ci.
Après avoir implémenté le modèle CRR, il était pour moi impossible de ne pas faire de même pour le modèle de Black-Scholes-Merton !
* Une extension du modèle permet de prendre en compte les dividendes, elle a été implémenté également.
En finance, le modèle binomial (ou modèle CRR du nom de ses auteurs) fournit une méthode numérique pour l’évaluation des options. Il a été proposé pour la première fois par Cox, Ross et Rubinstein (1979).
La méthode binomiale utilise un « cadre à temps discret » pour retracer l’évolution de l’actif sous-jacent, via un arbre, pour un nombre donné de « pas » qui correspond au temps entre la date d’évaluation et celle de l’expiration de l’option. Chaque nœud de l’arbre (intersection entre deux branches de l’arbre) est un prix possible du sous-jacent à un moment précis dans le temps. Cette évolution des prix constitue la base de l’évaluation des options.
p, la probabilité risque-neutre, u pour up, d pour down.
Le processus d’évaluation est itératif. On part du nœud final de chaque branche et ensuite on « remonte » jusqu’au premier nœud (date d’évaluation), où le résultat du calcul est la valeur de l’option.
Je me suis amusé à implémenter ce pricer (Pour les options européennes) en Python, le code visible ci-dessous.
Le pricer fournit le prix à la fois pour un Call, et pour un Put .
Bien avant Le Système monétaire européen et bien avant l’euro, il existait en Europe un dispositif économique actif de 1972 à 1978 qui limitait les fluctuations de taux de change entre les monnaies des pays membres de la Communauté économique européenne.
Ce dispositif, c’est le Serpent monétaire européen (SME).
Pour chaque monnaie, un seuil d’intervention (pour les banques centrales) à la vente et un seuil d’intervention à l’achat, en fonction du taux de change par rapport à chacune des autres monnaies, étaient définis.
Ainsi, une monnaie ne pouvait pas fluctuer par rapport à une autre de plus ou moins 2,25 % autour de sa parité bilatérale.
L’histoire débute de fait en 1944 avec les accords de Bretton Woods où plusieurs dizaines d’États, la guerre finie, décident que la nouvelle économie mondiale se fera grâce à l’aide des États-Unis et les échanges seront donc basés sur le dollar américain.
Cette spécificité de la monnaie américaine va dès lors lui conférer une valeur supranationale et donner un privilège exceptionnel aux États-Unis en leur permettant de payer toutes leurs importations dans la monnaie nationale, alors que les autres pays doivent s’efforcer de gagner suffisamment de devises pour régler leurs importations.
Pour obtenir les précieux dollars, les pays n’ont d’autre choix que d’exporter.
En 1971, les États-Unis renoncent à la convertibilité du dollar en or à 35 dollars l’once.Dès lors, le cours du dollar va évoluer librement par rapport aux autres devises.
De 1972 à 1978 le dollar américain connait une forte chute , et les devises (qui sont liées au dollars par leurs importations/exportations) craquent les unes après les autres.
Au printemps 1976, les troubles monétaires secouent de nombreux pays européens. Le serpent monétaire européen, embourbé dans ses difficultés, est paralysé.
Plusieurs pays quittent le dispositif du Serpent Monétaire Européen, la nécessité d’un nouveau système s’impose.
C’est bien ce qui a donné naissance au Système monétaire européen, où les devises prennent un panier de référence nommé l’ECU (European Currency Unit), qui est constitué des devises adhérentes au nouveau système.
La fluctuation des devises les unes par rapport aux autres s’étant révélée irréalistes, la nouvelle fluctuation de 1,125 % (au lieu de 2,25 %) se fait cette fois par rapport à l’ECU.
